MATEMATIKA PEMINATAN

NAMA : AHMAD RUDI

KELAS : XI MIA 3

NO ABSEN : 10

MATEMATIKA PEMINATAN

BAB 1

Bentuk Umum

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + … a₂x² + a₁x + a₀

keterangan :

n = derajat suku banyak

a₀ = konstanta

a_n, a_{n – 1}, a_{n – 2}, … = koefisien dari xⁿ, x^{n – 1}, x^{n – 2}, …

Pangkat merupakan bilangan cacah.

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

dimana :

F(x) = suku banyak

P(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)

Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1

Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n

Metode Pembagian Suku Banyak

contoh :

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1

1. Pembagian Biasa

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

2. Cara Horner/skema

cara ini dapat  digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)

• Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
• Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

dan seterusnya

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½

P₂: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

3. Koefisien Tak Tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan:

= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d

= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Tips

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x³ – 2x² – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x³ – 2x² – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0?

Jawab :

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃

dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
• Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄

dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a
• Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = – d/a
• Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa

CONTOH SOAL : 

• Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan x2−x−6=0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x₁+2 dan 3x₂+2 adalah...

• Akar-akar persamaan kuadrat x2−7x−p=0 adalah c dan d. Jika c2+d2=29, maka berapa nilai p?

BAB 2

Parabola

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Berikut simulasi persamaan parabola pada aplikasi geogebra dapat dilihat di sini

Elips

(1) Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

• Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
• Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
• Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
• Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Berikut simulasi persamaan ellips pada aplikasi geogebra dapat dilihat di sini

Hiperbola

(1) Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

CONTOH SOAL : Tentukan persamaan parabola yang memuat semua titik yang berjarak sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2.